Question

Даю 50 баллов! Пожалуйста, подробно и все пункты, типа убывающее написали и возрастающее аналогично и не расписывать не надо. А также все 4 пункта, пожалуйста. Спасибо большое за грамотное решение!!!

Answer 1

Докажем, что функция у=k/x  при k>0 убывает. 
То есть будет выполняться свойство: если х₁<x₂ , то y(x₁)>y(x₂) . 
Будем рассматривать два случая, когда  x>0 и  когда x<0. 
Предварительно вспомним, что число а называется большим числа b , если разность (a-b)>0.  Число а называется меньшим числа b, если разность (a-b)<0 .

$1)\; \; 0\ \textless \ x_1\ \textless \ x_2\; \; \to \; \; x_2\ \textgreater \ x_1\ \textgreater \ 0\; \; \to \; \; x_2-x_1\ \textgreater \ 0\; ;\; \; k\ \textgreater \ 0\, :\\\\y(x_1)-y(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k\cdot (x_2-x_1)}{x_2\cdot x_1}\ \textgreater \ 0\; ,$

так как в числителе произведение положительных множителей k>0 и 
(x₂-x₁)>0 даёт положительное выражение, а в знаменателе тоже произведение положительных множителей х₁>0 и x₂>0 даёт положительное выражение. Поэтому вся дробь положительна.
Получили, что при х₁<x₂  имеем  y(x₁)-y(x₂)>0 , а значит  y(x₁)>y(x₂) , то есть функция убывает (по определению).
2)  Теперь рассмотрим, как себя ведёт функция у=k/x при k>0, когда х<0.

$x_1\ \textless \ x_2\ \textless \ 0\; \; \to \; \; (x_1-x_2)\ \textless \ 0\; \; \to \; \; (x_2-x_1)\ \textgreater \ 0\; ;\; k>0\\\\y(x_1)-y(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k\cdot (x_2-x_1)}{x_1\cdot x_2}\ \textgreater \ 0\; ,$

так как в числителе стоит произведение положительных выражений k>0 и (x₂-x₁)>0, которое даёт положительное выражение, а в знаменателе произведение двух отрицательных выражений x₁<0 и x₂<0 даёт положительное выражение x₁x₂>0. Значит вся дробь положительна.
Получили, что при x₁<х₂  имеем у(х₁)-у(х₂)>0 , а значит у(х₁)>у(х₂),
то есть функция будет убывающей.

Докажем аналогично, что при k<0 функция  у=k/x будет возрастающей.
То есть будет выполняться свойство: если х₁<x₂ , то y(x₁)<y(x₂) .
Опять рассмотрим два случая, когда х>0 и когда х<0 .

$1)\; \; 0\ \textless \ x_1\ \textless \ x_2\; \; \to \; \; x_1-x_2\ \textless \ 0\; \; \to \; \; x_2-x_1\ \textgreater \ 0\; ;\; k\ \textless \ 0.\\\\y(x_1)-y(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k\cdot (x_2-x_1)}{x_1\cdot x_2}\ \textless \ 0\; ,$

так как в числителе произведение отрицательного k<0 на
положительное (х₂-х₁)>0 даст отрицательное выражение. В знаменателе получаем положительное выражение х₁х₂>0. Тогда вся дробь будет отрицательна.
Получили, что при х₁<x₂  имеем у(х₁)-у(х₂)<0, то есть у(х₁)<у(х₂). Функция возрастает.
2)  Рассмотрим как ведёт себя функция  y=k/x  при k<0 и х<0.

$x_1\ \textless \ x_2\ \textless \ 0\; \; \to \; \; x_1-x_2\ \textless \ 0\; \; \to \; \; x_2-x_1\ \textgreater \ 0\; ;\; k\ \textless \ 0.\\\\y(x_1)-y(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k\cdot (x_2-x_1)}{x_1\cdot x_2}\ \textless \ 0\; ,$

так как в числителе произведение отрицательного k<0 и положительной разности (х₂-х₁)>0 даст отрицательный числитель.Произведение двух отрицательных множителей х₁<0 и x₂<0 даст положительный знаменатель. Поэтому вся дробь будет отрицательной.
Получили, что при х₁<x₂ имеем y(x₁)-y(x₂)<0, то есть y(x₁)<y(x₂).
Функция возрастает.

3.160.
  $1)\; \; y=\frac{3}{x}\; ,\; \; k=3\ \textgreater \ 0\; \; \to \; \; y(x)\; -\; ybuvaet\\\\2)\; \; y=-\frac{10}{x}\; ,\; \; k=-10\ \textless \ 0\; \; \to \; \; y(x)\; -\; vozrastaet\\\\3)\; \; y=-\frac{1}{2x}\; ,\; \; y=\frac{-1/2}{x}\; ,\; \; k=-\frac{1}{2}\ \textless \ 0\; \; \to \; \; y(x)\; -\; vozrastaet\\\\4)\; \; y=\frac{1}{4x}\; ,\; \; y=\frac{1/4}{x}\; ,\; \; k=\frac{1}{4}\ \textgreater \ 0\; \; \to \; \; y(x)\; -\; ybuvaet$

Графики функций у=k/x  - это гиперболы.
Графики всех возрастающих функций расположены во 2 и 4 четвертях.
Графики всех убывающих функций расположены в 1 и 3 четвертях.