Question

Решить методом операционного исчисления ду
x''-4x'=4t x(0)=0 x'(0)=4
Нашёл изображения производных, получил уравнение, а дальше не идёт
Помогите пожалуйста.

Answer 1

$x''-4x'=4t; \ \ \ x(0)=0; \ \ x'(0)=4 \\ \\ x''\leftarrow p^2X(p)-4 \\ \\ x' \leftarrow pX(p) \\ \\ t \leftarrow \frac{1}{p^2} \\ \\ \\ p^2X(p)-4-4pX(p)= \frac{4}{p^2} \\ \\ X(p)(p^2-4p)=\frac{4}{p^2}+4 \\ \\ X(p)(p^2-4p)=\frac{4+4t^2}{p^2} \\ \\ X(p)=\frac{4+4p^2}{p^2(p^2-4p)} =\frac{4+4p^2}{p^3(p-4)}$

Воспользуемся разложением на множители:
$\frac{4+4p^2}{p^3(p-4)}= \frac{A}{p} + \frac{B}{p^2} +\frac{C}{p^3}+ \frac{D}{p-4} \\ \\ Ap^2(p-4)+Bp(p-4)+C(p-4)+Dp^3=4+4p^2 \\ \\ 1) \ p=0; \\ -4C=4 \\ C=-1 \\ \\ 2) \ p=4 \\ 64D=68 \\ D= \frac{17}{16} \\ \\ 3) \ p=1 \\ -3A-3B+3+ \frac{17}{16}=8 \\ 3A+3B=- \frac{63}{16} \\ \\ A+B= -\frac{21}{16}\\ \\ 4) p=-1 \\ -5A+5B+5- \frac{17}{16}=8 \\ \\ -5A+5B= \frac{65}{16} \\ \\ -A+B= \frac{13}{16}\\ \\ \left \{ {{A+B= -\frac{21}{16}} \atop {-A+B= \frac{13}{16}}} \right. \\ \\ 2B=- \frac{1}{2}$

$B=-\frac{1}{4} \\ \\ A=-\frac{21}{16}-B=\frac{21}{16}+\frac{1}{4}=-\frac{17}{16}$

$X(p)=-\frac{17}{16}*\frac{1}{p}-\frac{1}{4}*\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^3}+\frac{17}{16}*\frac{1}{p-4}\rightarrow \\ \\ \rightarrow x(t)=-\frac{17}{16}-\frac{t}{4}-\frac{t^2}{2}+\frac{17}{16}e^{4t} \\ \\ OTBET: \ x(t)= \frac{17}{16}e^{4t}-\frac{17}{16}-\frac{t}{4}-\frac{t^2}{2}$