Question

Разность двух чисел равна 26. Каковы должны быть эти числа, чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?

Answer 1

Пусть первое число = х, тогда второе: x+26

по условию выражение:
$x^3*(x+26)$
должно быть наименьшим

воспользуемся производной:

$f(x)=x^3*(x+26)=x^4+26x^3 \\ \\ f'(x)=4x^3+78x^2 \\ \\ f'(x)=0 \ \ =\ \textgreater \ \ \ 4x^3+78x^2=0 \\ \\ 2x^2(2x+39)=0 \\ \\ \begin{bmatrix} 2x^2=0 \\ 2x+39=0 \end{matrix} \ \ \Leftrightarrow \ \ \begin{bmatrix} x_{1,2}=0 \\ x_3=-19.5\end{matrix} \\ \\ \\ -----[-19.5]++++[0]+++++\ \textgreater \ x$

там где производная отрицательна (знак минус), сама функция убывает.

где производная положительна (знак плюс), сама функция возрастает.

Значит при смене знака - на +, получается точка минимума, то есть наименьшее значение х=-19,5
тогда второе число: х+26=-19,5+26=6,5

Ответ: -19,5 и 6,5