Question

Найти общее решение диф. уравнения 1-ого порядка.
$x*y*y'=x^{2} +y^{2}$

Answer 1

Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, однородное уравнение.

Пусть $y=ux$, тогда по правилу дифференцирования произведения $y'=u'x+u$, в результате чего должны получить уравнение с разделяющимися переменными.

$ux^2(u'x+u)=x^2+u^2x^2\\ \\ u'ux+u^2=1+u^2\\ \\ u'ux=1$
Получили уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \frac{du}{dx}= \frac{1}{ux}~~~\Rightarrow~~~ \int udu=\int \frac{dx}{x} ~~~\Rightarrow~~~ \frac{u^2}{2}=\ln |x|-\ln |C| \\ \\ \ln \bigg|\frac{x}{C}\bigg|= \frac{u^2}{2} ~~~\Rightarrow~~~ x=Ce^{u^2/2}$

Возвращаясь к обратной замене, получим общий интеграл
                                                                    $\boxed{x=Ce^{y^2/2x^2}}$