Question

найти объем тела полученного вращением вокруг оси oy фигуры ограниченной линиями y^2-x^2=3, xy=2(x,y>0) и y=3 помогите пожалуйста

Answer 1

Заданная фигура - сумма двух фигур.
Находим их границы:
у²-x²=3,
xy=2, у = 2/х,   у² = 4/х²: подставим в первое уравнение:
 (4/х²) - х² = 3,
(х⁴ + 3х² - 4 )/х² = 0.

Если х не равен нулю, то можно приравнять нулю только числитель: 

(х⁴ + 3х² - 4) = 0.

Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с Ох:

Замена: х² = а.
Тогда получим квадратное уравнение:
а² + 3а - 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно a: Ищем дискриминант:
D=3^2-4*1*(-4)=9-4*(-4)=9-(-4*4)=9-(-16)=9+16=25;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
a_1=(√25-3)/(2*1)=(5-3)/2=2/2=1;  a_2=(-√25-3)/(2*1)=(-5-3)/2=-8/2=-4.   
Этот корень не принимаем (х² ≠ -4).
Получаем х = √а и 2 значения: х = 1 и х = -1 (это значение не принимаем - не соответствует общей области определения).
Значение у = 2/1 = 2.

Объём равен интегралу функций относительно квадрата х.
$V_y= \pi \int\limits^3_2 {x^2} \, dy$.


$V= \pi \int\limits^3_2 {(y^2-3)} \, dy- \pi \int\limits^3_2 {( \frac{4}{y^2}) dy= \frac{10 \pi}{3} - \frac{2 \pi }{3}} = \frac{8 \pi }{3}$.

Плоская фигура приведена в приложении.