Question

Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится на расстояниях $\sqrt{54}$ и $\sqrt{10}$ от концов гипотенузы. Найти все стороны и углы треугольника .

Answer 1

Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис. На рисунке указаны биссектрисы, выходящие из острых углов прямоугольного треугольника. Пусть угол отмеченный зеленым α, а красным β; 2α+2β = 90°; Значит α+β=45°; Значит тупой угол треугольника, образованного биссектрисами равен 180°-45°=135°. Стороны, прилежащие к этому углу, по условию равны √54 и √10. По теореме косинусов имеем: гипотенуза = 
$\sqrt{54+10+2* \sqrt{540}* \frac{ \sqrt{2} }{2}}= \sqrt{64 + \sqrt{1080}}$

Далее слишком большие вычисления. Они аналогичны тем, что выше. Тоже через теорему косинусов, ну можно местами и синусов :)