Question

3cos2x+sin2x-cos6x+sin6x=0
Мне кажется, что это можно расписать проще, чем кажется
Только не забывайте про тройку. Помогите решить, а то я сомневаюсь

Answer 1

$3cos2x+sin2x-cos6x+sin6x=0\\\\2cos2x+(\underbrace {cos2x-cos6x}_{2sin2x\cdot sin4x})+(\underbrace {sin2x+sin6x}_{2sin4x\cdot cos2x})=0\, |:2\\\\cos2x+sin2x\cdot sin4x+sin4x\cdot cos2x=0\\\\cos2x+sin2x\cdot 2sin2x\cdot cos2x+sin4x\cdot cos2x=0\\\\cos2x\cdot (1+2sin^22x+sin4x)=0\\\\a)\; \; cos2x=0\; ,\; \; 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; \; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z\\\\b)\; \; 1+2sin^22x+sin4x=0\\\\2sin^22x+(\underbrace {sin^22x+cos^22x}_{1})+\underbrace {2sin2x\cdot cos2x}_{sin4x}=0\\\\\underbrace {2sin^22x}_{\geq 0}+\underbrace {(sin2x+cos2x)^2}_{\geq 0}=0\; \; \Rightarrow$

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, если каждое выражение обращается в ноль.

$sin^22x=0\; \; \to \; \; sin2x=0\; ,\; \; 2x=\pi k,\; x=\frac{\pi k}{2}\; ,\; k\in Z\\\\(sin2x+cos2x)^2=0\; \to \; sin2x+cos2x=0\, |:cos2x\ne 0\\\\tg2x=-1\; ,\; \; 2x=-\frac{\pi}{4}+\pi m\; ,\; x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi m}{2}\; ,\; m\in Z\\\\Otvet:\; \; \frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}\; ;\; \frac{\pi k}{2}\; ;\; -\frac{\pi }{8}+\frac{\pi m}{2}\; ,\; \; n,k,m\in Z\; .$