Question

Постройте график функции
$y=\frac{x^3+x^2}{(\sqrt{x+1})^2}$
и найдите все значение р, при которых пря-
мая у=р имеет с графиком данной функции одну общую точку.

Answer 1

1) Рассмотрим функцию $y= \frac{x^3+x^2}{( \sqrt{x+1} ^2)}$ для начала преобразуем её. В числителе можно вынести за скобку х². В знаменателе стоит корень во второй степени, значит корень можно убрать, ведь подкоренное выражение не может быть отрицательным, а в данном случае и нулем быть не может, т.к. корень находится в знаменателе, а на ноль делить нельзя.
Получается функция
$y= \frac{x^3+x^2}{( \sqrt{x+1} ^2)}=y= \frac{x^2(x+1)}{( x+1}= x^{2}$ заданная на промежутке (-1; +∞)
Построим эту функцию (смотри прикрепленный рисунок ). Обратите внимание, что точка (-1; 1) выколота.

2) y=p это семейство прямых, параллельных оси ОХ. 
при отрицательном значении у нет графика функции, значит нет и общих точек. В точке О (0 ; 0) графики функций y=0 и y=x² имеют одну общую точку. Поднимаемся выше. При значении у∈(0; 1) две общие точки. 
При значении у∈ [1 ; +∞) одна общая точка. Отсюда следует ответ.
Ответ: 1) смотри приложение
            2) p∈{0}∪[1; +∞)