Question

Помогите пожалуйста! Напишите разложение вектора х по векторам p q r,если х=(0,-2,1),р=(3,-4,2),q=(6,-1,5),r=(-3,-2,-6)

Answer 1

$\vec{x}= \alpha \vec{p}+ \beta \vec{q}+\gamma \vec{r}$
Где α,β и γ - некоторые коэффициенты в новом базике. Их и нужно найти.
Для этого перепишем верхнее уравнение в координатной форме:

$(0,-2,1)= \alpha (3,-4,2)+ \beta (6,-1,5)+\gamma (-3,-2,-6) \\ \\ (0,-2,1)= (3\alpha ,-4\alpha ,2\alpha )+ (6\beta,-\beta,5\beta)+ (-3\gamma,-2\gamma,-6\gamma) \\ \\ \left\{\begin{matrix} 3 \alpha +6 \beta -3\gamma=0 \\-4 \alpha - \beta -2 \gamma=-2 \\ 2 \alpha +5 \beta -6\gamma=1 \end{matrix}\right.$

Решим методом Гаусса:

$\begin{pmatrix} 3 &6 &-3 &0 \\ -4&-1 &-2 &-2 \\ 2& 5 &-6 &1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 &1 &3 &-1 \\ -4&-1 &-2 &-2 \\ 2& 5 &-6 &1 \end{pmatrix} \sim \\ \\ \\ \sim\begin{pmatrix} 1 &1 &3 &-1 \\ 0&3 &10 &-6 \\ 0& 3 &-12 &3 \end{pmatrix} \sim\begin{pmatrix} 1 &1 &3 &-1 \\ 0&3 &10 &-6 \\ 0& 0 &-22 &9 \end{pmatrix}$

$\left\{\begin{matrix} \alpha + \beta +3\gamma=-1\\ 3 \beta +10\gamma=-6 \\ -22\gamma=9 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha =-1- \beta -3\gamma\\ \beta= \frac{-6-10\gamma}{3} \\\gamma=- \frac{9}{22} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha =-1- \beta + \frac{27}{22} \\ \beta= \frac{-6+ \frac{90}{22} }{3} \\\gamma=- \frac{9}{22} \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha =-1+\frac{7 }{11} + \frac{27}{22} \\ \\ \beta= -\frac{7 }{11} \\ \\\gamma=- \frac{9}{22} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha = \frac{19}{22} \\ \\ \beta= -\frac{7 }{11} \\ \\ \gamma=- \frac{9}{22} \end{matrix}\right. \\ \\ \\ OTBET: \ \vec{x}= \frac{19}{22}\vec{p} -\frac{7 }{11} \vec{q}- \frac{9}{22} \vec{r}$