Question

Розкласти задану функцію в ряд Фур;є f(x)=sin x на відрізку О:П за синусами

Answer 1

Поскольку функция $f(x)=\sin x$ является нечетной, то коэффициенты: $a_0=a_n=0$

$b_n= \displaystyle \frac{2}{ \pi } \int\limits^{\pi}_0 {\sin x\sin nx} \, dx = \frac{1}{ \pi } \int\limits^{\pi}_0\bigg(\cos(n-1)x-\cos(n+1)x\bigg)dx=\\ \\ = \frac{1}{ \pi } \bigg( \frac{1}{n-1}\cdot \sin(n-1)x- \frac{1}{n+1}\cdot \sin(n+1)x\bigg)\bigg|^{ \pi } _0=\\ \\ = \frac{1}{ \pi } \cdot \bigg( \frac{\sin \pi (n-1)}{n-1} - \frac{\sin \pi (n+1)}{n+1} \bigg)=0,~~ n\ne\pm1$


Разложение в ряд Фурье по синусам:


$f(x)=\sin x=\displaystyle \sum^{\infty}_{n=2}0\cdot\sin(nx)=0$