Question

Вычислить интеграл...........

Answer 1

1) ∫(x^2+2)^2 dx;  2) Интеграл от 1/3 до 1/2 ф-ции dx/x^2.

Ответ:

1) x^5/5+4x^3/3+4x+C;

2) 1.

Пошаговое объяснение:

$\Large \boldsymbol {} 1) \int {(x^2+2)^2} \, dx =\int (x^4+4x^2+4)\ dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} +\\\\+4*\frac{x^{2+1}}{2+1} +4x+C=\frac{x^5}{5} +\frac{4x^3}{3} +4x+C$

2) Для начала вспоминаем формулу Ньютона-Лейбница

$\Large \boldsymbol {} \text{ \boldsymbol{\sf \star \ \int\limits^b_a {f(x)} \, dx=F(x) \Big|_{a}^{b}=F(b)-F(a) } \boldsymbol}$

Применяем её в нашем интеграле:

$\LARGE \boldsymbol {} \int\limits^\frac{1}{2} _\frac{1}{3} {\frac{dx}{x^2} } \, =\int\limits^\frac{1}{2} _\frac{1}{3} {\frac{1}{x^2} } \, dx = - \frac{1}{(2-1)x^{2-1}} \Big|_{\frac{1}{3} }^{\frac{1}{2} }=- \frac{1}{x} \Big|_{\frac{1}{3} }^{\frac{1}{2} }=\\\\=-\frac{1}{\frac{1}{2} } -(-\frac{1}{\frac{1}{3} }) =-1*\frac{2}{1} +1*3=-2+3=1$