Question

1) Докажите по индукции что :
$\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times .... \frac{(2n - 1)}{2n} < \frac{2n}{(2n + 1)}$
2) Докажите что для любых действительных чисел a, b справедливо неравенство :
$({a}^{2} - {b}^{2} ) ^{2} \geqslant 4ab(a - b)^{2}$

Answer 1

если а-в=0 то получаем 0=0 что верно. Если а не равно в ,то (а-в) либо положительна либо отриц2ательна,но в квадрате ВСЕГДА положительна.слева получаем (а-в)²(а+в)²≥4ав(а-в)²  перенесем все  в левую часть и вынесем за скобки.   (а-в)²(а+в)²-4ав(а-в)²  ≥0
(а-в)²((а+в)²-4ав) ≥0 ,  (а-в)²(а²+2ав+в²-4ав) ≥0,(а-в)²(а²-2ав+в²) ≥0
(а-в)²(а-в)² ≥0, если а=в  ,то 0=0 ,если а не равно в , то в квадрате получится положительное число,которое всегда больше нуля!