Question

На доске написано 10 различных натуральных чисел среднее арифметическое 6 наименьших из них составляет 8, а шести наибольших из них составляет 16. а)может ли наибольшее из этих десяти чисел быть 18. б)может ли среднее арифметическое всех десяти чисел быть 11,2. в)наидите наименьшее среднее арифметическое всех десяти чисел

Answer 1

Пусть у нас есть 10 чисел, расположенных слева направо в порядке возрастания: a₁,a₂,...,a₅,a₆,...,a₁₀; Причем a₅ и a₆ входят в оба среднеарифметических.(Назовем теперь a₅ и a₆ x и y соответственно) Пусть сумма четырех первых чисел равна S₁, а четырех последних равна S₂; Имеем: $\frac{S_{1}+x+y }{6}=8$ ⇔ $S_{1} +x+y=48$
Аналогично $S _{2}+x+y=96$, откуда $S_{2}-S_{1}=48$
========
Вернемся к решению.
а) Пусть наибольшее число 18. Тогда наибольшее значение S₂ равно 18+17+16+15 = 66. Тогда наименьшее значение x+y равно 96-66=30. С другой стороны, максимальное значение x+y равно 14+13=27. Противоречие.
б) Пусть среднеарифметическое всех чисел равно 11,2. Значит
S₁+S₂+x+y=112; x+y = 96-S₂; S₁ = 16 ⇔ S₂ = 64; x+y = 32; С самого начала мы договорились о том, что числа расставлены по возрастанию, т.е, в частности, y>x; Значит минимальное значение y равно 17. А следовательно, минимальное значение a₇ равно 18. Тогда минимальная сумма S₂ равна 18+19+20+21>64. Противоречие.
в) Пусть максимальное число (a₁₀) равно X; Нам нужно найти минимальное среднее арифметическое, а значит, минимальное значение S₂; Пусть S₂ = X + X-d + X-2d + X-3d = 4X - 6d; Более того,
y>x ⇒ $\frac{96-4X+6d}{2}\ \textless \ x-4d$ ⇔ x > 17+7d/3 >17+d
Пусть x = 17+d + m, d≥1, m≥1 (т.к неравенство строгое). В итоге S₂ = 
17+(m+d)+17+(m)+17+(m-d)+17+(m-2d); Учитывая, что минимальное значение m+d равно 2, получаем, что минимальное значение S₂ равно  4*17+2 = 70; Отсюда S₁ = 22, x+y = 26; Значит минимальное среднее арифметическое равно (70+22+26)/10 = 11,8