Question

Решить уравнение
sin^2(pi/8-3x/2)=sinx+sin^2(pi/8-x/2)
Даю 80 баллов

Answer 1

Выполним понижение степени с помощью формулы $\sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1}{2} (1- \cos t )$:
$\frac{1}{2} (1- \cos ( \frac{ \pi }{4} -3x ))= \sin x + \frac{1}{2} (1- \cos ( \frac{ \pi }{4} -x )) \\ 1- \cos ( \frac{ \pi }{4} -3x )= 2\sin x + 1- \cos ( \frac{ \pi }{4} -x ) \\ \cos ( \frac{ \pi }{4} -x )-\cos ( \frac{ \pi }{4} -3x )= 2\sin x$
В левой части полученного уравнения перейдем от суммы к произведению с помощью формулы разности косинусов:
$-2 \sin \dfrac{ \frac{ \pi }{4}-x+\frac{ \pi }{4}-3x }{2} \sin \dfrac{ \frac{ \pi }{4}-x-\frac{ \pi }{4}+3x }{2} =2 \sin x \\ \sin (2x-\frac{ \pi }{4}) \sin x= \sin x\\ \sin x(\sin (2x-\frac{ \pi }{4})-1) = 0$
$\sin x = 0$ или $\sin (2x-\frac{ \pi }{4})= 1$
$x= \pi k,\ k \in Z$ или $x=\frac{3 \pi }{8}+ \pi n,\ n \in Z$
Ответ: $\pi k;\ \frac{3 \pi }{8}+ \pi n,\ k,n \in Z$