Question

Решить однородное уравнение:
dy/y=(x-y)dx/x^2

Answer 1

$\frac{dy}{y}=\frac{(x-y)\, dx}{x^2}\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{y\, (x-y)}{x^2}\; \; \Rightarrow \quad y'=\frac{yx}{x^2}-\frac{y^2}{x^2}\; ,\; \; y'=\frac{y}{x}-(\frac{y}{x})^2\\\\t=\frac{y}{x}\; ,\; \; y=tx\; ,\; \; y'=t'x+tx'=t'x+t\; \; (x'=1)\\\\t'x+t=t-t^2\\\\t'x=-t^2\; ,\; \; t'=-\frac{t^2}{x}\; ,\; \; \int \frac{dt}{t^2}=-\int \frac{dx}{x}\; ,\\\\\int \frac{dt}{t^2}=\int t^{-2}\, dt=\frac{t^{-1}}{-1}+C_1=-\frac{1}{t}+C_1\\\\-\frac{1}{t}=-ln|x|-C\\\\\frac{x}{y}=ln|x|+C\\\\y=\frac{x}{ln|x|+C}$