Question

sin квадрат(45 градусов +а)-sin квадрат(30градусов - а)-sin15градусов умножить cos(15 градусов+2а)=sin2a

Answer 1

$sin^2(45^\circ+a)-sin^2(30^\circ -a)-sin15^\circ \cdot cos(15^\circ +2a)=\\\\=\Big (sin(45^\circ +a)-sin(30^\circ -a)\Big )\cdot \Big (sin(45^\circ +a)+sin(30^\circ -a)\Big )-\\\\-sin15^\circ \cdot cos(15^\circ +2a)=\\\\\star \; \; sin \alpha \pm sin \beta =2\, sin\frac{\alpha \pm \beta }{2}\cdot cos\frac{\alpha \mp \beta }{2}\; \; \star \\\\=2\, sin\frac{75^\circ }{2}\cdot cos\frac{15^\circ +2a}{2}\cdot 2\, sin\frac{15^\circ +2a}{2}\cdot cos\frac{75^\circ }{2}-sin15^\circ \cdot cos(15^\circ +2a)=$

$=\Big (2\, sin\frac{75^\circ }{2}\cdot cos\frac{75^\circ }{2}}\Big )\cdot \Big (2\, sin\frac{15^\circ +2a}{2}\cdot cos\frac{15^\circ +2a}{a}\Big )-\\\\-sin15^\circ \cdot cos(15^\circ +2a)=\\\\\star \; \; 2\, sin \alpha \cdot cos \alpha =sin2 \alpha \; \; \star \\\\=sin75^\circ \cdot sin(15^\circ +2a)-sin15^\circ \cdot cos(15^\circ +2a)=\\\\\star \; \; sin \alpha =cos(90^\circ - \alpha )\; ,\; \; sin75^\circ =sin(90^\circ -15^\circ )=cos15^\circ \; \; \star \\\\=cos15^\circ \cdot sin(15^\circ +2a)-sin15^\circ \cdot cos(15^\circ +2a)=$

$\star \; \; sin\alpha \cdot cos\beta -cos\alpha \cdot sin\beta =sin(\alpha -\beta )\; \; \star \\\\=sin\Big ((15^\circ +2a)-15^\circ \Big )=sin2a$