Question

Найти объем тела с помощью тройного интеграла

Answer 1

$1)\; \; x^2+y^2=1\; \; cilindr\; ,\; \; y-4z+5=0\; \; ploskost\; ,\; \; z=0\\\\z=\frac{y+5}{4}\\\\V=\iiint \limits _{V}\, dx\, dy\, dz=\iint \limits _{D_{xy}}dx\, dy \int\limits^{\frac{y+5}{4}}_0\, dz=\iint \limits _{D_{xy}}\, \frac{y+5}{4}\, dx\, dy=\\\\=[\, x=\rho cos\varphi \; ,\; y=\rho \, sin\varphi \; ,\; \; dx\, dy=\rho\, d\rho\, d\varphi \; ,\; x^2+y^2=\rho ^2\; \to \; \rho =1\, ]=\\\\=\frac{1}{4}\int\limits^{2\pi }_0\, d\varphi \int\limits^1_0\, (\rho \, sin\varphi +5)\, \rho \, d\rho =\frac{1}{4} \int\limits^{2\pi }_0\, d\varphi \, (sin\varphi \cdot \frac{\rho ^3}{3}+5\cdot \frac{\rho ^2}{2}\Big )\Big |_0^1=$

$=\frac{1}{4}\int \limits _0^{2\pi }\Big (\frac{1}{3}\cdot sin\varphi +\frac{5}{2}\Big )\, d\varphi =\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{3}\cdot cos\varphi +2,5\varphi )\Big |_0^{2\pi }=\\\\=\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{3}\cdot cos2\pi +2,5\cdot 2\pi +\frac{1}{3}\cdot cos0-0)=\\\\=\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{3}+5\pi +\frac{1}{3})=\frac{5\pi }{4}$

$2)\; \; z=5x+4y^2-12xy\; ,\; \; A(1,1)\\\\z'_{x}=5-12y\; ,\; \; \; z'_{x}(1,1)=5-12=-7\\\\z'_{y}=8y-12x\; ,\; \; \; z'_{y}(1,1)=8-12=-4\\\\gradz\Big |_{A}=\frac{\partial z}{\partial x}\Big |_{A}\cdot \vec{i}\, +\, \frac{\partial z}{\partial y}\Big |_{A}\cdot \vec{j}\\\\\\gradz\Big |_{A}=-7\, \vec{i}-4\, \vec{j}$