Question

Помогите пожалуйста, надо найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

Answer 1

$1)\; \; (1+x)y\, dx+(1-y)x\, dy=0\\\\\int \frac{(1+x)\, dx}{x}=-\int \frac{(1-y)\, dy}{y}\\\\\int (\frac{1}{x}+1)dx=-\int (\frac{1}{y}-1)dy\\\\ln|x|+x=-ln|y|+y+C\\\\y(1)=1:\; \; ln1+1=-ln1+1+C\; ,\; \; C=0\\\\\underline {ln|x|+x=y-ln|y|}\\\\2)\; \; y^2\, dx=e^{x}\, dy\\\\\int \frac{dx}{e^{x}}=\int \frac{dy}{y^2}\\\\-e^{-x}=-y^{-1}-C\\\\-\frac{1}{e^{x}}=-\frac{1}{y}-C\; ,\; \; \frac{1}{e^{x}}=\frac{1}{y}+C\\\\y(0)=1:\; \; \frac{1}{e^0}=\frac{1}{1}+C\; ,\; \; 1=1+C\; ,\; \; C=0\\\\\frac{1}{e^{x}}=\frac{1}{y}\\\\\underline {y=e^{x}}$

$3)\; \; \frac{dx}{cos^2x\, cosy}=ctgx\cdot siny\cdot dy\\\\\frac{dx}{cos^2x\cdot ctgx}=cosy\cdot siny\cdot dy\\\\\int \frac{tgx\cdot dx}{cos^2x}=\int \frac{sin2y}{2}\, dy\\\\ \frac{tg^2x}{2}=-\frac{1}{4}\cdot cos2y+C\\\\y(\frac{\pi }{3})=\pi :\; \; \frac{1}{2}\cdot tg^2\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{4}\cdot cos\frac{2\pi }{3}+C\\\\\frac{1}{2}\cdot (\sqrt3)^2=-\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{2})+C\\\\\frac{3}{2}=\frac{1}{8}\cdot C\; ,\; \; C=12\\\\\frac{tg^2x}{2}=-\frac{1}{4}\cdot cos2y+12\; \; |\cdot 4\\\\\underline {2\, tg^2x=-cos2y+48}$