Question

4 Задания по ЭВМ(Элементы Вышей Математики)
Тема интегралы
Если понадобится, могу скинуть вариант своего решения(он с не верным решение, и не полный) 

Answer 1

$2)\; \; \int \frac{dx}{(x+1)(x-2)}=\\\\\star \; \; \frac{1}{(x+1)(x-2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}\\x=-1:\; \; A=\frac{1}{-1-2}=-\frac{1}{3}\\x=2:\; \; B=\frac{1}{2+1} =\frac{1}{3}\\\\=-\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x+1}+\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x-2}=-\frac{1}{3}\cdot ln|x+1|+ \frac{1}{3}\cdot ln|x-2|+C=\\\\= \frac{1}{3}\cdot ln\Big |\frac{x-2}{x+1}\Big |+C\\\\3)\; \; \int \frac{\sqrt{x}\, dx}{1+\sqrt{x}}=[\, t=\sqrt{x}\; ,\; x=t^2\; ,\; dx=2t\, dt]=\int \frac{t\cdot 2t\, dt}{1+t}=\\\\=2\int \frac{t^2\, dt}{t+1}=2\int (t-1+\frac{1}{t+1})dt=2(\frac{t^2}{2}-t+ln|t+1|)+C=\\\\=2\cdot (\, \frac{x}{2}-\sqrt{x}+ln|\sqrt{x}+1|\, )+C$

$1)\; \; \int\limits^{\pi /4}_{\pi /6}\, e^{cosx}\, sinx\, dx=[t=cosx,\; dt=-sinx\, dx]=\\\\=-\int\limits^{\sqrt2/2}_{\sqrt3/2}\, e^{t}\, dt=-e^{t}\Big |_{\sqrt3/2}^{\sqrt2/2}=-e^{\sqrt2/2}+e^{\sqrt3/2}\\\\4)\; \; y\, dy=x\, dx\; ,\; \; \; y(-2)=4\\\\\int y\, dy=\int x\, dx\\\\ \frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+\frac{C}{2}\\\\y^2=x^2+C\\\\y(-2)=4:\; \; 4^2=(-2)^2+C\; ,\; \; C=16-4\; ,\; \; C=12\\\\y^2=x^2+12$