Question

Помогите решить.
Применяя указанные подстановки,вычислить следующие интегралы.

Answer 1

$x=2+z^3\\ x-2=z^3\\ d[x-2]=d[z^3]\\ dx=3z^2dz\\\\ \frac{(x-2)^{\frac{2}{3}}}{(x-2)^{\frac{2}{3}}+3}=\frac{z^2}{z^2+3}\\\\ \int\limits {\frac{(x-2)^{\frac{2}{3}}}{(x-2)^{\frac{2}{3}}+3}} \, dx = \int\limits {\frac{z^2}{z^2+3}} \, 3z^2dz=\\\\ =3*\int\limits {\frac{z^4}{z^2+3}} \, dz=3*\int\limits {\frac{z^4-9+9}{z^2+3}} \, dz= 3*\int\limits {(\frac{z^4-9}{z^2+3}-\frac{9}{z^2+3})} \, dz=$

$=3*[\int\limits {\frac{(z^2-3)*(z^2+3)}{z^2+3}} \, dz-9*\int\limits {\frac{1}{z^2+(\sqrt{3})^2}} \, dz]=\\\\ =3*[\int\limits {(z^2-3)}} \, dz-9*\frac{1}{\sqrt{3}}*arctg(\frac{z}{\sqrt{3}})]=\\\\ =3*(\frac{z^3}{3}-3z-3{\sqrt{3}}*arctg(\frac{z}{\sqrt{3}}))+C=\\\\ =3*[\frac{(x-2)^2}{3}-3(x-2)^{\frac{2}{3}}-3\sqrt{3}*arctg(\frac{(x-2)^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{3}})]+C$

$\int\limits^{29}_3 {\frac{(x-2)^{\frac{2}{3}}}{(x-2)^{\frac{2}{3}}+3}} \, dx=3*[\frac{(x-2)^2}{3}-3(x-2)^{\frac{2}{3}}-3\sqrt{3}*arctg(\frac{(x-2)^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{3}})]|^{29}_3=\\\\ =3*[\frac{27^2}{3}-3*9-3\sqrt{3}*arctg(\frac{9}{\sqrt{3}})]-\\-3*[\frac{1}{3}-3*1-3\sqrt{3}*arctg(\frac{1}{\sqrt{3}})]=\\\\ =3*[216-3\sqrt{3}*arctg({3}{\sqrt{3}})]-3*[\frac{1}{3}-3*1-3\sqrt{3}*\frac{\pi}{6}]=...$