Question

Участок в форме прямоугольника площадью 2 га огорожен забором. Найдите стороны участка имеющего наименьший периметр

помогите

Answer 1

2 га = 20000 м²

Максимальную площадь при заданном периметре будет иметь квадрат. Следовательно, при заданной площади минимальный периметр также будет у квадрата.

Сторона такого квадрата: а = √20000 = 100√2 ≈ 141,42 (м)

Периметр, соответственно:

       Р = 4а = 4*100√2 = 400√2 ≈ 565,68 (м)

Постараемся в этом убедиться:

Площадь участка:  ab = 20 000 =>  b = 20 000/a,

где a и b - стороны участка.

Периметр участка:

Р = 2(a + b) = 2(a + (20000/a)) = 2a + 40000/a

Исследуем функцию P(a) c помощью производной

P'(a) = 2 – (40000/a²)

P'(a) = (2a² – 40000)/a²

P'(a) = 0

2a² – 40000 = 0

a² = 20000

a = √20 000 = 100√2 (м)

b = 20 000/100√2 = 200/√2 = 200√2/2 = 100√2 (м)

Таким образом, искомый прямоугольник с минимальным периметром при заданной площади, действительно является квадратом со стороной а = b = 100√2 (м).

PS. Если требуется найти точное значение длин сторон, то, максимально приближенный к квадрату прямоугольник с площадью 20000 м² будет иметь стороны 125 м и 160 м.

Периметр такого прямоугольника:  Р = 2*285 = 570 (м)

Площадь: S = 125*160 = 20000 (м²)