Question

Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения
y"'-y'=0 y(0)=0 y'(0)=2 y"(0)=4

Answer 1

Характеристическое уравнение: $\lambda^3 - \lambda = 0$
$\lambda(\lambda^2 -1) = 0 \\ \lambda_1=0;\ \lambda_2 = -1;\ \lambda_3 = 1$
Фундаментальная система решений: $1; e^x; e^{-x}$
Общее решение: $y=C_1+C_2e^x+C_3e^{-x}$
Используем доп.условия для вычисления $C_i$
y(0) = 0 ⇒ $C_1+C_2+C_3=0$
$y' = C_2e^x-C_3e^{-x}$
y'(0) = 2 ⇒ $C_2-C_3=2$
$y'' = C_2e^x+C_3e^{-x}$
y''(0) = 4 ⇒ $C_2+C_3=4$
Решаем систему уравнений: $\begin {cases} C_1+C_2+C_3=0 \\ C_2-C_3=2 \\ C_2+C_3=4 \end {cases}$
$\begin {cases} C_1+4=0 \\ 2C_2=6 \\ C_3=4-C_2 \end {cases} \ \textless \ =\ \textgreater \ \begin {cases} C_1=-4 \\ C_2=3 \\ C_3=1 \end {cases}$
Итак, $y=-4+3e^x+e^{-x}$
Ответ: $y=-4+3e^x+e^{-x}$