Question

решить уравнение , допускающие понижение порядка 2 $y^{3}$·y''=-1 y(0)=0.5 y'(0)=√2

Answer 1

Это дифференциальное уравнение второго порядка независящее явным образом от неизвестной х

Пусть $y'=p(y)$, тогда $y''=p'p(y)$, тогда

$y^3pp'=-1$ - уравнение с разделяющимися переменными

$\dfrac{y^3pdp}{dy} =-1~~~\Rightarrow~~~ \displaystyle \int pdp=-\int \frac{dy}{y^3} \\ \\ \frac{p^2}{2}= \frac{1}{2y^2} +C_1~~~\Rightarrow~~~ p^2= \frac{1}{y^2} +C_1$

Откуда $p=\pm\sqrt{ \dfrac{1}{y^2} +C_1}$


Возвращаемся к обратной замене


$y'=\displaystyle \sqrt{ \dfrac{1}{y^2} +C_1}~~~\Rightarrow~~~ \int\frac{dy}{\sqrt{ \dfrac{1}{y^2} +C_1}} =\int dx\\ \\ \\ \frac{1}{2C_1} \int \frac{d(1+C_1y^2)}{\sqrt{1+C_1y^2}} =\int dx~~~\Rightarrow~~~ \boxed{ \frac{ \sqrt{1+C_1y^2} }{C_1} +C_2=x}$
Получили общий интеграл

Найдем теперь частный интеграл, подставляя начальные условия.

$\displaystyle \left \{ {{ \frac{ \sqrt{1+0\cdot C_1} }{C_1}=0.5 } \atop {------//-----}} \right.$

Дальше нужно C1 и C2 и записать общий вид частного интеграла