Question

1. Напишите формулу общего члена
последовательности натуральных чисел,
которые при делении на 3 дают в остатке 1.

2.Последовательность (Xn) задана формулой
Xn = -3n - 4. Найдите:
а) $x_{1}$; б) $x_{5}$; в) $x_{12}$; г) $x_{100}$; д) $x_{n+1}$;

3.Последовательность задана формулой
$a_{n}$ = $7_{n}$ + 5
A) Вычислите первые пять членов этой
последовательности.
Б) Определите, будет ли число 33 являться членом этой последовательности?
В) Найдите самый близкий к числу 95 член этой последовательности.

Answer 1

1. Натуральные числа, которые делятся на 3 без остатка имеют вид 3n, где n ∈ N. Делим 3n на 3 и получаем n без остатка. Чтобы остаток был равен 1, нужно из указанного числа вычесть 2:
3n - 2, где n ∈ N (множеству натуральных чисел)
Для проверки подставляем 1, 2, 3 и т.д. и получаем 1, 4, 7 ...
Ответ: 3n - 2

2. $x_n = -3n - 4$
Просто подставляем в формулы соответствующий индекс:
а) $x_1 = -3*1 - 4 = -7$
б) $x_5 = -3*5 - 4 = -19$
в) $x_{12} = -3*12 - 4 = -40$
г) $x_{100} = -3*100 - 4 = -304$
д) $x_{n+1} = -3*(n+1) - 4 = -3n-3-4 = -3n - 7$

3. $a_n = 7n + 5$
а) Просто берём и подставляем первые 5 индексов в формулу:
$a_1 = 7*1 + 5 = 12 \\ a_2 = 7*2 + 5 = 19 \\ a_3 = 7*3 + 5 = 26 \\ a_4 = 7*4 + 5 = 33 \\ a_5 = 7*5 + 5 = 40$

б) Просто вместо а энного подставляем 33 и решаем получившееся уравнение. Если индекс n будет целым, то число будет принадлежать данной последовательности.
$33 = 7n + 5 \\ 7n = 28 \\ n = 4$
Индекс n число целое, значит, 33 является членом данной последовательности. Что мы и видели, когда делали пункт 3а).

в) Делаем как в предыдущем пункте. Если число 95 не является членом последовательности, то индекс n будет дробный. Тогда округляем по правилам округления, что даст ближайший член.
$95 = 7n + 5 \\ 7n = 90 \\ n = 12 \frac{6}{7} \approx 12,857 \\ \\ n=13 \\ a_{13} = 7*13 + 5 = 96$