Question

ЛНОДУ
линейное неоднородное дифференциальное уравнение
(y^2+1)^1/2*dx=xydy , y(1)=1

Answer 1

Это дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными

$\sqrt{y^2+1} dx=xydy\\ \\ \displaystyle \int \frac{dx}{x} = \int \frac{ydy}{ \sqrt{y^2+1} } ~~~\Rightarrow~~~\int \frac{dx}{x} = \frac{1}{2} \int \frac{d(y^2+1)}{ \sqrt{y^2+1} } \\ \\ \\ \ln|x|= \sqrt{y^2+1} +C$

Получили общий интеграл. Найдем теперь частный интеграл, подставив начальные условия

$\ln 1= \sqrt{1^2+1} +C\\ \\ C= -\sqrt{2}$


ЧАСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ : $\ln|x|= \sqrt{y^2+1} -\sqrt{2}$