Question

Как вычислить сумму 1*2+2*3+3*4+4*5+...+n*(n+1)

Answer 1

Ответ:

n(n+1)(n+2)/3

Объяснение:

1) Если n=2k, то объединяем слагаемые парами:

(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+(5*6+6*7)+...+(2k-1)(2k)+(2k)(2k+1)=

=2(1+3)+2(3+5)+6(5+7)+...+2(2k)^2=

=2(2^2+4^2+6^2+...+(2k)^2)=2*4*(1^2+2^2+3^2+...+k^2).

2) Известно, что 1^2+2^2+3^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6 (при необходимости можно доказать по индукции). Значит при четном n=2k ответ

4/3*k(k+1)(2k+1) = 2k(2k+2)(2k+1)/3 = n(n+2)(n+1)/3

3) При нечётном n=2k+1, отделим последнее слагаемое и тем самым сведем задачу к чётному случаю, а затем добавим это последнее слагаемое:

(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+(5*6+6*7)+...+(2k-1)(2k)+(2k)(2k+1)+(2k+1)(2k+2)=

= 4/3*k(k+1)(2k+1)+(2k+1)(2k+2) = 2k(2k+2)(2k+1)/3+(2k+1)(2k+2) =

=(n-1)(n+1)n/3+n*(n+1)=n*(n+1)*(n-1+3)=n(n+1)(n+2)/3