Question

Пытался решить уравнение √(4x+2√(3x²+4))=x+2

Получил корни x₁=2 x₂= -2 x₃=0. x₃ отсеял по ОДЗ, однако подстановка показала что он подходит. При нахождении ОДЗ я решал неравенство 4x+2√(3x²+4)≥0. Я разделил неравенство на 4 и часть с радикалом перенес направо, получив x≥-0.5√(3x²+4). После я совершил действие оказавшееся роковым, я обе части неравенства возвел в квадрат, получив x²≥0.25(3x²+4) Данное неравенство ложно при х=0, из-за чего в нашем ОДЗ образуется дыра как раз там, где должен быть третий корень. А вот если бы я возводил в квадрат 0.5√(3x²+4)≥-x, то получил бы 0.25(3x²+4)≥x², и все было бы хорошо.

А теперь вопрос: я вижу какое конкретно мое действие привело к ошибочному ОДЗ, и я даже вижу как я мог получить правильное ОДЗ. Единственное чего я никак не могу понять - почему мои действия ошибочны? Я просто в упор не вижу ошибочности в своих действиях, хотя и вижу что они привели к ошибочному ОДЗ.

Answer 1

Функция f(x) = x^2 (ты ведь возводил в квадрат), так эта функция на (-∞;0] убывает, а на [0; +∞) возрастает. Т. е. возводить в квадрат неравенство можно только при определенных условиях: когда обе части неотрицательны - а случаи, когда это не так, нужно рассматривать отдельно.