Question

log3(x^2+2)- log 3 (x^2-x+12) >= log3(1+ 1/x)

Answer 1

$log_3(x^2+2)- log_3 (x^2-x+12) \geq log_3\Big(1+ \dfrac{1}{x}\Big)$

ОДЗ : 1) x²+2>0    ⇒   x∈R

         2) x²-x+12>0   ⇒  D=1-4·12=-47<0   ⇒  x∈R

    3) $1+\dfrac{1}{x}>0~~\Leftrightarrow~~\dfrac{x+1}{x}>0~~\Rightarrow~~x\in (-\infty;-1)\cup(0;+\infty)$

ОДЗ :  x ∈ (-∞; -1) ∪ (0; +∞)

$log_3(x^2+2)- log_3 (x^2-x+12) \geq log_3\Big(\dfrac{x+1}{x}\Big)\\ \\ log_3\Big(\dfrac{x^2+2}{x^2-x+12}\Big) \geq log_3\Big(\dfrac{x+1}{x}\Big)\\ \\ 3>1~~~\Rightarrow\\ \\ \dfrac{x^2+2}{x^2-x+12} \geq \dfrac{x+1}{x}\\ \\ \\ \dfrac{x^2+2}{x^2-x+12} - \dfrac{x+1}{x}\geq 0\\ \\ \\ \dfrac{x(x^2+2)-(x+1)((x^2-x+12))}{(x^2-x+12)x} \geq 0\\ \\ \\ \dfrac{x^3+2x-(x^3+x^2-x^2-x+12x+12)}{(x^2-x+12)x} \geq 0\\ \\ \\ \dfrac{x^3+2x-x^3-11x-12}{(x^2-x+12)x} \geq 0$

$\dfrac{-9x-12}{(x^2-x+12)x} \geq 0~~~~|:(-3)\\ \\ \\ \dfrac{3x+4}{(x^2-x+12)x} \leq 0$

x² - x + 12 > 0   всегда, так как D < 0    ⇒

$\dfrac{3x+4}{(x^2-x+12)x} \leq 0~~~\Leftrightarrow~~~ \dfrac{3x+4}{x} \leq 0$

Метод интервалов : x₁ = $-1\frac{1}{3}$;   x₂ = 0

+++++++++++ $[-1\frac{1}{3}]$ ----------- (0) +++++++++++> x

$\boldsymbol{x \in [-1\frac{1}{3};0)}$

С учётом ОДЗ :    $\boxed{\boldsymbol{x \in [-1\frac{1}{3};-1)}}$