Question

В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки А и В, на окружности верхнего основания отмечены точки В1 и С1 так, что ВВ1 является образующей, перпендикулярной основанию, а AC1 пересекает ось цилиндра
а) доказать что AB и B1C1 перпендикулярны; б) Найти угол между AC1 и BB1, если AB = 3; B1C1 = 4; BB1=1.

Answer 1

а) Пусть $OO_1$ – ось цилиндра, проведем плоскость через прямые $AC_1$ и $OO_1$, обозначим точки A1 и C. 
Заметим, что $(AA_1O)$ перпендикулярна основаниям, так как содержит $OO_1$, поэтому $AA_1\subset (AA_1O)$ – образующая, перпендикулярная основаниям, тогда $AA_1 \parallel BB_1$ и $AA_1 = BB_1$, $AA_1B_1B$ – прямоугольник, поэтому $AB = A_1B_1$ и $AB \parallel A_1B_1$. 
Треугольник $A_1B_1C_1$ вписан в окружность верхнего основания и опирается на диаметр, значит, он прямоугольный и $A_1B_1 \perp B_1C_1$, а значит, и $AB \perp B_1C_1$, поскольку $AB \parallel A_1B_1$.

б) Угол между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $BB_1$ равен $\angle A_1AC_1$, т.к. $AA_1 \parallel BB_1$. 
Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1B_1C_1$. В нем $B_1C_1 = 4$, $A_1B_1=AB=3$, тогда по теореме Пифагора $A_1C_1=5$.
В треугольнике $AA_1C_1$ $A_1A \perp A_1C_1$ ($A_1C_1$ лежит в основании, $AA_1$ перпендикулярно основанию), $A_1A = BB_1 = 1$, тогда $\mathop{\mathrm{tg}}\angle A_1AC_1 = A_1C_1/AA_1 = 5$; $\angle A_1AC_1=\mathop{\mathrm{arctg}}5$.
Ответ: arctg 5.