Question

Высота конуса равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения равен 120 градусов. Найдите площадь основания конуса и объём.

Answer 1

Осевое сечение конуса это р/б треугольник( диаметр основания это основание р.б треугольника)
Высота конуса совпадает с высотой р/б треугольника. 
Высота в р.б треугольнике является и медианой, и биссектрисой. И делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника, рассмотрим один из них:
В нём мы знаем:   
Катет в 4см и можем найти один из углов, который находится при вершине р.б.(120/2=60*)
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике 90*.
Найдём второй острый угол(90*-60*=30*)
Напротив угла в 30* находится катет равный половине гипотенузы.
Напротив этого угла у нас лежит катет в 4 см, значит гипотенуза равна 8 см(2*4см)
По теореме Пифагора найдём второй катет, равный радиусу:
$\sqrt{8^2-4^2}= \sqrt{64-16} = \sqrt{48}$
$r= \frac{D}{2}= \frac{\sqrt{48} }{2} = \frac{ 2\sqrt{12} }{2} =\sqrt{12}$
В основании цилиндра лежит окружность , найдём площадь
$S= (\sqrt{12})^2 *pi=12pi$
Объём цилиндра:
$V=h*pi*r^2$
$V=4*(\sqrt{12})^2pi=4*12pi=48pi$