Question

Помогите решить неравенство

Answer 1

Существует "модный" способ решения таких неравенств - метод рационализации. Но я предложу традиционный "старый" способ.
$\frac{log_2(x+1)-log_4(3x+1)}{log_4(3x+1)} \leq 0$
Рассуждаем далее: частное ≤ 0, когда числитель и знаменатель разных знаков, причем знаменатель ≠ 0. Рассмотрим 2 случая.
$1)\ \begin {cases} log_2(x+1)-log_4(3x+1) \leq 0 \\ log_4(3x+1)\ \textgreater \ 0 \end {cases}\\ \begin {cases} log_2(x+1)\leq log_4(3x+1) \\ log_4(3x+1)\ \textgreater \ 0 \end {cases}\ =\ \textgreater \ \begin {cases} x+1\ \textgreater \ 0 \\ 3x+1\ \textgreater \ 0 \\ 3x+1\ \textgreater \ 1\\ (x+1)^2\leq 3x+1 \end {cases}\\ =\ \textgreater \ \begin {cases} x\ \textgreater \ 0 \\ x^2+2x+1-3x-1 \leq 0 \end {cases} =\ \textgreater \ \begin {cases} x\ \textgreater \ 0 \\ x^2-x \leq 0 \end {cases} \\ =\ \textgreater \ \begin {cases} x\ \textgreater \ 0 \\ x(x-1) \leq 0 \end {cases} \ =\ \textgreater \ \boxed {x \in (0;1]}$
$2)\ \begin {cases} log_2(x+1)-log_4(3x+1) \geq 0 \\ log_4(3x+1)\ \textless \ 0 \end {cases}\\ \begin {cases} log_2(x+1) \geq log_4(3x+1) \\ log_4(3x+1)\ \textless \ 0 \end {cases}\ =\ \textgreater \ \begin {cases} x+1\ \textgreater \ 0 \\ 3x+1\ \textgreater \ 0 \\ 3x+1\ \textless \ 1\\ (x+1)^2 \geq 3x+1 \end {cases}\\ =\ \textgreater \ \begin {cases} - \frac{1}{3}\ \textless \ x\ \textless \ 0 \\ x^2-x \geq 0 \end {cases} =\ \textgreater \ \begin {cases} - \frac{1}{3}\ \textless \ x\ \textless \ 0 \\ x(x-1) \geq 0 \end {cases} =\ \textgreater \ \boxed {x \in (- \frac{1}{3} ;0)}$
Наконец, объединяем ответы двух случаев: $\boxed {x \in (- \frac{1}{3}; 0) \cup (0;1]}$
Ответ: $(- \frac{1}{3}; 0) \cup (0;1]$