Question

Точка М равноудалена от сторон равностороннего треугольника АВС. Найдите угол наклона прямой МС к плоскости АВС, если угол между плоскостями МВС и АВС равен а.

Answer 1

Т.к. точка М равноудалена от сторон равностороннего Δ АВС, то она проецируется в точку О плоскости (АВС) - центр вписанной в Δ АВС окружности. Этот факт следует из равенства прямоугольных треугольников МОК, МОЕ и МОН по гипотенузе (МК=МЕ=МН по условию) и катету (МО - общий). Тогда ОК=ОЕ=ОН=r - радиус впис.окр-ти.
Линейный угол двугранного угла MBCO есть ∠МКО = a.
В прямоугольном  Δ MOK tg a = MO:OK. Отсюда МО = r·tg a.
Т.к. Δ АВС - правильный, то О - точка пересечения медиан. Значит, ОС:ОЕ = 2:1. Отсюда ОС=2r.
В прямоугольном  Δ MOС tg ∠МСО = MO:OС = (r·tg a):(2r) = 0,5tg a.
Тогда ∠МСО = arctg (0,5tg a).
Ответ: arctg (0,5tg a).