Question

M є $D x_{1} =$  { (x;y): $x^{2} + y^{2} - 4x - 4y + 7 leq 0$ }
N $D x_{2} =$  { (x;y): $x^{2} + y^{2} + 6x + 6y + 17 leq 0$ }
Найти самое большое расстояние MN

Answer 1

Сразу очевидно что оба два уравнение это есть Окружности 
Приведем оба уравнение в канонический вид 
$1) x^2+y^2-4x-4y+7 leq 0\ x^2-4x+4+y^2-4y+4-1 leq 0 \ (x-2)^2+(y-2)^2 leq 1$ 
 Это уравнение окружности с центром  точками координат равными  $O(2;2)$
 с радиусом 1

$2)\ x^2+y^2+6x+6y+17 leq 0\ x^2+6x+9+y^2+6y+9-1 leq 0\ (x+3)^2+(y+3)^2 leq 1$
 С центром равными  $O_{1}(-3;-3)\ R=1$
 По рисунку видно что так!
 Теперь можно поступить так , найти уравнение прямой , затем решить две  системы  уравнения, нестрогость можно опустить !
 Для N, уравнение прямой будет y=x;
 Решим систему, учитывая то что  прямая будет пересекать   эту окружность  в  двух точках выберем ту которая больше 2 
 $left { {{x^2+y^2-4x-4y+7 =0} atop {x=y}} right.\ \ x=y=frac{sqrt{2}+4}{2}$
то есть координаты M уже известны, теперь  N 
так же 
$left { {{x^2+y^2+6x+6y+17=0} atop {x=y}} right. \ y=x= - frac{sqrt{2}+6}{2}$
Теперь найдем длину MN, по формуле $MN=sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}\ MN=sqrt{2(5-sqrt{2})^2}=sqrt{2}(5-sqrt{2})=5sqrt{2}-2$