Question

Нужно довести равность, но всё никак не получается. Поможете?

Answer 1

Существует нечто похожее на признак Д'Аламбера, только вместо сходимости ряда мы рассматриваем сходимость последовательности.

Теорема:

Пусть дана некая положительная последовательность $\displaystyle (a_n)$. Обозначим $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =L$.

Если $L\ \textless \ 1$ то $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0$.

Доказательство:

Предположим что $L\ \textless \ 1$, тогда по признаку Д'Аламбера ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится. Следовательно благодаря необходимому признаку сходимости рядов, получим:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0$

Прошу обратить внимание что я не показал полную теорему (в ней оговорен случай на L>1 и L = ∞, а именно то что при данных значениях L последовательность стремиться к  ∞), так как нам потребуется лишь первая часть теоремы. 

Так как наша последовательность положительная, получаем:

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)^{n+1}}{(2n+3)!} : \frac{(2n)^n}{(2n+1)!}= \frac{(2n+2)^{n+1}(2n+1)!}{(2n)^n(2n+3)!}=\\\\=\left(1+ \frac{1}{n} \right)^n \cdot \frac{1}{2n+3}\rightarrow e\cdot 0=0$

Стрелочка в конце выражения эквивалентна знаку предела для последовательности (т.е. она означает "стремится к").

Благодаря нашей теореме мы сразу получаем нужный результат, а именно то что последовательность стремится к нулю.