Question

Помогите, пожалуйста, с решением!

Найти все значения параметра а, при которых система имеет единственное решение:
х^2 - 2у=а,
х+у=а

Answer 1

Выразим заданные уравнения относительно у:
$\left \{ {{y= \frac{1}{2} x^2- \frac{a}{2}} \atop {y=-x+a}} \right.$
Как видим, система представлена параболой, симметричной оси Оу с вершиной на этой оси в точке (0; (-а/2)), и прямой с к=-1, пересекающей ось Оу в точке (0; а).
Единственным решением системы является точка касания прямой и параболы.
Приравняем функции: 
$\frac{1}{2} x^2- \frac{a}{2} =-x+a.$
Получаем квадратное уравнение: х² + 2х - 3а = 0.
Дискриминант Д = 4 + 12а.
Приравниваем его нулю, чтобы уравнение имело единственное решение:
4 + 12а = 0,
а = -4/12 = -1/3.

Получаем:
 - уравнение параболы у = (1/2)х² + (1/6),
 - прямой                        у = -х - (1/3).