Предмет: Математика,
автор: sudin7777777
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогональных преобразований

P.S. Перепроверял несколько раз получаются нулевые собственные векторы. Объясните в чем ошибка
nelle987:
Собственные числа правильные получаете? Вроде бы с.ч. {7, -3, -1, 1}
Ответы
Автор ответа:
1
Матрица, соответствующая данной квадратичной форме:

Нужно найти собственные числа и собственные вектора этой матрицы. Собственные числа находим из уравнения det(A - λE) = 0:

Прибавим к первой строке все остальные строки, после вынесения общего множителя обнулим первый столбик во всех строках, кроме первой:

Раскладываем определитель по первому столбцу. Опустим пока множитель (1 - λ), сложим прибавим к третьей строчке вторую, вынесем общий множитель и обнулим третий столбец везде, кроме последней строки:

Раскладываем определитель по третьему столбцу, после отбрасывания множителей остается определитель матрицы 2x2, который равен

Итак,

Находим собственные векторы:
1) с.ч. = 1
Сумма всех строк равна 0, выкинем последнюю. Приведем матрицу к красивому виду (насколько сможем):

Из полученного вида матрицы получаем, что уравнению удовлетворяют все вектора вида (a, a, a, a); с.в. (1, 1, 1, 1)
2) c.ч. = -1

с.в. (1, 1, -1, -1)
3) с.ч. = -3

с.в. (1, -1, -1, 1)
4) с.ч. = 7

c.в. (1, -1, 1, -1)
Собственные вектора уже ортогональны, но еще не отнормированы. Длина каждого равна 1/2, так что окончательно получаем, что под действием замены

(по столбцам записаны собственные векторы) квадратичная форма примет вид

Нужно найти собственные числа и собственные вектора этой матрицы. Собственные числа находим из уравнения det(A - λE) = 0:
Прибавим к первой строке все остальные строки, после вынесения общего множителя обнулим первый столбик во всех строках, кроме первой:
Раскладываем определитель по первому столбцу. Опустим пока множитель (1 - λ), сложим прибавим к третьей строчке вторую, вынесем общий множитель и обнулим третий столбец везде, кроме последней строки:
Раскладываем определитель по третьему столбцу, после отбрасывания множителей остается определитель матрицы 2x2, который равен
Итак,
Находим собственные векторы:
1) с.ч. = 1
Сумма всех строк равна 0, выкинем последнюю. Приведем матрицу к красивому виду (насколько сможем):
Из полученного вида матрицы получаем, что уравнению удовлетворяют все вектора вида (a, a, a, a); с.в. (1, 1, 1, 1)
2) c.ч. = -1
с.в. (1, 1, -1, -1)
3) с.ч. = -3
с.в. (1, -1, -1, 1)
4) с.ч. = 7
c.в. (1, -1, 1, -1)
Собственные вектора уже ортогональны, но еще не отнормированы. Длина каждого равна 1/2, так что окончательно получаем, что под действием замены
(по столбцам записаны собственные векторы) квадратичная форма примет вид
Похожие вопросы
Предмет: Математика,
автор: kartovsikovsergej
Предмет: Українська мова,
автор: pn2ks5g6fp
Предмет: Химия,
автор: svetandreeva
Предмет: Математика,
автор: Ansarshık
Предмет: Литература,
автор: Министрелия15102001