Question

Найти определённый интеграл

Answer 1

$\sqrt{8x-x^2-15}= \sqrt{1-(x-4)^2} \\\\ x-4 = sin(t)\\ dx=cos(t)dt\\ x=3;t=- \frac{ \pi }{2} \\ x=5;t= \frac{ \pi }{2}$

$\int\limits^5_3 { \frac{x^2}{ \sqrt{1-(x-4)^2} } } \, dx = \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _{- \frac{ \pi }{2} }{ \frac{(sin(t)+4)^2cos(t)}{cos(t)} } \, dt= \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _{- \frac{ \pi }{2} }{(sin(t)+4)^2 } \, dt=\\\\= \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _{- \frac{ \pi }{2} }{(sin^2(t)+8sin(t)+16) } \, dt=\\\\= \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _{- \frac{ \pi }{2} }{(-0,5cos(2t)+8sin(t)+16,5) } \, dt= \\\\=(-0,25sin(2t)-8cos(t)+16,5t)|^\frac{ \pi }{2} _{- \frac{ \pi }{2}}=16,5 \pi$