Question

Решите неравенство (2-3x)*log2x-1(x^2-2x+2)
Заранее огромное спасибо (50б)

Answer 1

$(2-3x)\cdot\log_{2x-1}(x^2-2x+2)\leq0$

ОДЗ:

1) 2x - 1 > 0;   2x > 1;   x > 0,5

2) 2x - 1 ≠ 1;   2x ≠ 2;   x ≠ 1

3) x² - 2x + 2 > 0;  ⇔  (x² - 2x + 1) + 1 > 0;

   (x - 1)² + 1 > 0   -   выполняется при любых значениях х.

ОДЗ : x ∈ (0,5; 1) ∪ (1; +∞)

$(2-3x)\cdot\log_{2x-1}(x^2-2x+2)=0\\\\1)~2-3x=0;~~x=\dfrac 23\\\\2)~\log_{2x-1}(x^2-2x+2)=0\\\\~~~~\log_{2x-1}(x^2-2x+2)=\log_{2x-1}1\\\\~~~~x^2-2x+2=1\\~~~~x^2-2x+1=0\\~~~~(x-1)^2=0~~~\Rightarrow~~~x=1$

Метод интервалов с учётом ОДЗ

(0,5) ----------- [$\frac 23$] ++++++++++ (1) ------------>x

Ответ: x ∈ (0,5;2/3] ∪ (1; +∞)