Question

Случайную велечину X задана интегральной функцией распределения F(x).
Найти:
а) дифференциальную функцию распределения f(x),
б) математическое ожидание и дисперсию X,
в) вероятность того, что X принимает значение, что содержится в интервале (1\2,1); P.S. посмотри на фото.
г) построить графики функций F(x) и f(x).

Answer 1

а) Дифференциальная функция распределения f(x) является плотностью распределения. Согласно определению функции распределения: $f(x)=F'(x)$

$f(x)=(0.5x)'=0.5$

$f(x)=\displaystyle \left \{ {{0,~~~ x\ \textless \ 0;~~ x\ \textgreater \ 2} \atop {0.5,~~~ ~~0 \leq x \leq 2}} \right.$ - плотность распределения.

б) Математическое ожидание: $M(X)=\displaystyle \int\limits^2_0xf(x)dx=\int\limits^2_00.5xdx=$

$=\displaystyle 0.5\cdot0.5x^2\bigg|^2_0=0.25\cdot 2^2-0.25\cdot 0^2=1$

Дисперсия: $D(X)=\displaystyle \int\limits^2_0x^2 f(x)dx-(M(X))^2=\int\limits^2_00.5x^2dx-1^2=$

$\displaystyle =0.5\cdot \frac{x^3}{3} \bigg|^2_0-1^2= \frac{4}{3} -1= \frac{1}{3}$

в) Вероятность того, что случайная величина Х принимает значение из интервала (1/2;1).

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [a,b] равна:  $P(a \ \textless \ x \ \textless \ b)= F(b) - F(a)$, в нашем случае:

$F(0.5\ \textless \ x\ \textless \ 1)=0.5\cdot 1-0.5\cdot 0.5=0.25$