Question

Помогите решить!!
Найти область определения функции
$y=\frac{2x^2+3}{x-\sqrt{x^2-4}}$

Answer 1

Область определения функции - это множество чисел, на котором задается функция. Другими словами, это те значения х, которые можно подставить в данное уравнение и оно не потеряет смысл. Возможные значения у называются областью значений функции.

Зададим условия существования нашего выражения:

$\displaystyle \left \{ {{x^2-4\geq 0} \atop {x-\sqrt{x^2-4}\neq0}} \right.$

Почему так: подкоренное выражение не может быть отрицательным и знаменатель дроби не может равняться нулю.

теперь найдем решение наших условий

$\displaystyle x^2-4\geq 0\\\\x^2\geq 4\\\\|x|\geq 2\\\\(-oo;-2] [2;+oo)$

Это условие существования КОРНЯ

теперь нужно из этой области ВЫКОЛОТЬ точки при которых знаменатель обращается в ноль

решим уравнение

$\displaystyle x-\sqrt{x^2-4}=0\\\\x=\sqrt{x^2-4}$

Рассмотрим ДВА случая.

1) x≤-2 (проверяем сразу область из первого условия)

При таком условии ЛЕВАЯ часть отрицательная, а правая положительная.

Значит Уравнение решений иметь не будет. И Значит ВЫКОЛОТЫХ точек нет

2) x≥2

$\displaystyle x=\sqrt{x^2-4}\\\\x^2=x^2-4\\\\0= -4$

решений нет. Значит выколотых точек при х≥2 тоже нет

таким образом при условии (-оо;-2] [2;+oo) Знаменатель никогда не будет равняться нулю

ВЫВОД: Область определения (-oo;-2][2;+oo)