Question

100 баллов. Тройной интеграл. Прошу подробно. Фейковые сразу бан).

Answer 1

Перейдём от переменных {x, y, z} к новому набору переменных {u, y, z}, где u = xyz. В новых переменных V задаётся неравенствами 0 ≤ u ≤ 1, y ≥ 1, z ≥ 1.

Якобиан обратного преобразования:
$\dfrac{\partial(u,y,z)}{\partial(x,y,z)}=\dfrac{\partial u}{\partial x}=yz$
Якобиан обратного преобразования положительный на V, поэтому переход к новым переменным точно взаимно-однозначный, якобиан прямого преобразования 
$J=\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,y,z)}=\left(\dfrac{\partial(u,y,z)}{\partial(x,y,z)}\right)^{-1}=\dfrac1{yz}$

Теперь тройной интеграл легко сводится к повторным:
$\displaystyle\iiint_V e^{xyz}yx^2\,dV=\iiint_V e^u y\cdot\left(\frac{u}{yz}\right)^2 |J|\,du\,dy\,dz=\\=\int_0^1 u^2e^u\,du\int_1^\infty\frac{dy}{y^2}\int_1^\infty\frac{dz}{z^3}$

Второй и третий интегралы табличные, первый берётся по частям:
$\displaystyle\int_0^1u^2e^u\,du=\left.(u^2-2u+2)e^u\right|_0^1=e-2$

Ответ:
$\dots=(e-2)\cdot 1\cdot\dfrac12=\dfrac {e-2}2$

В принципе, выписывать новые переменные было необязательно, можно было бы проинтегрировать и так, сначала по x (0 ≤ x ≤ 1/yz), затем получатся такие же интегралы по y и z.