Question

Найдите произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $5^{2(log_ {13} x)^{2}} - 6 * 5^{(log_ {13} x)^{2}} + 5 = 9$ .
Ответ должен быть равен 1.

Answer 1

5^(log₁₃x)² = t
t² -6t -4 = 0
t₁= 3 + √13,                                      t₂ = 3 -  √13,
5^(log₁₃x)² = 3 + √13,                      5^(log₁₃x)² = 3 - √13, 
5^(log₁₃x)² =5^log₅(3 + √13)                  ∅ 
(log₁₃x)² = 3 +√13
log₁₃x = +-√(3 +√13)
x₁ = 13 ^√(3 +√13),        x₂=13^-√(3 +√13)
x₁ * x₂ = 13 ^√(3 +√13) * 13^-√(3 +√13) = 13^0 = 1

Answer 2

$\mathtt{5^{2log_{13}^2x}-6*5^{log_{13}^2x}-4=0}$

замена $\mathtt{5^{log_{13}^2x}=a\ \textgreater \ 0}$

$\mathtt{a^2-6a-4=(a-3)^2-(\sqrt{13})^2=(a-3-\sqrt{13})(a-3+\sqrt{13})=0}$, следовательно, $\mathtt{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{a_1=3+\sqrt{13}\ \textgreater \ 0~(\in ODZ)}\\\mathtt{a_2=3-\sqrt{13}\ \textless \ 0~(\notin ODZ)}\end{array}\right}$

обратная замена: $\mathtt{5^{log_{13}^2x}=3+\sqrt{13}}$

$\mathtt{\mathtt{\log_{13}^2x=5^{3+\sqrt{13}}};~\log_{13}x=б\sqrt{5^{3+\sqrt{13}}},~\to~x=13^{б\sqrt{5^{3+\sqrt{13}}}}}$

$\mathtt{x_1x_2=13^{\sqrt{5^{3+\sqrt{13}}}}*(\frac{1}{13})^{\sqrt{5^{3+\sqrt{13}}}}=1^{\sqrt{5^{3+\sqrt{13}}}}=1}$