Question

Дана последовательность an=n.
а) Первые 102 её члена записали в другом порядке: сначала числа, кратные двум, в порядке возрастания, затем числа кратные трём (также в порядке возрастания), на последнем месте - число 1. Существует ли число, которое сохранило свой номер?
б) Каждый из членов исходной последовательности со второго по 203-й возвели в квадрат. На сколько сумма нечётных квадратов больше, чем сумма чётных?

Answer 1

а) да 
изначально на 101-месте будет число 101
после перестановок на 101 месте тоже будет число 101 (так как оно простое, единственное кратное 101)
б) изначально было 1,2,3,..., 201, 202, 203
после возведения в квадрат 1, 2*2, 3*3, ..., 203*203

учитывая , что 3*3-2*2=(2+1)*(2+1)-2*2=2*2+1
5*5-4*4=(4+1)*(4+1)-4*4=2*4+1
.....
203*203-202*202=(202+1)*(202+1)-202*202=2*202+1

то (1+3*3+5*5+....+203*203)-(2*2+4*4+6*6+...+202*202)=
1+(2*2+1)+(2*4+1)+...+(2*202+1)=
=2*(2+4+6+...+202)+(1+1+..+1) (203 раза)=4*(1+2+...+101)+203=
4*101*102:2+203=20807

использовали тот факт, что сумма первых n натуральных чисел равна
1+2+3+...+n=n(n+1)/2