Question

Помогите решить ..............................................

Answer 1

Дано:    sin α + cos α  = 0,5
Вычислить:  sin⁵α + cos⁵α

I.   sin α + cos α  = 1/2    возвести обе части в квадрат
sin²α + 2sinα cosα + cos²α = 1/4
1 + sin (2α) = 1/4
sin (2α) = -3/4

II.
sin⁵α + cos⁵α =
=(sinα + cosα)(sin⁴α - sin³α*cosα + sin²α*cos²α - sinα*cos³α + cos⁴α) =
=0,5((sin⁴α + 2sin²α*cos²α + cos⁴α) - sin²α*cos²α - (sin³α*cosα+sinα*cos³α))=
=0,5( (sin²α + cos²α)² - sin²α*cos²α - sinα*cosα (sin²α + cos²α) )=
                    =1=                                                            =1=
=0,5 (1 - (1/4)(2sinα*cosα)² - (1/2)*(2sinα*cosα) ) =
=0,5 (1 - (1/4) sin²(2α) - (1/2) sin(2α)) = 
$= \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{4}*(- \frac{3}{4} )^2- \frac{1}{2} *(- \frac{3}{4} ) )= \\ \\ = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{4}* \frac{9}{16} + \frac{3}{8} )= \\ \\ = \frac{1}{2} (1 - \frac{9}{64} + \frac{24}{64} )= \frac{1}{2} * \frac{79}{64} = \frac{79}{128}$

sin⁵α + cos⁵α = $\frac{79}{128}$
-----------------------------------------------------------------------
Использованы формулы
sin²α + cos²α = 1
2 sinα cosα = sin (2α)
a⁵ + b⁵ = (a + b)(a⁴ - a³b + a²b² - ab³ + b⁴)