Найдите промежутки возрастания функции: y=x^3+3x^2-9x
Ответы
Ответ:
Функция у=x³+3·x²-9·x возрастает на промежутках (-∞; -3) и (1; +∞)
Объяснение:
Дана функция
у=x³+3·x²-9·x.
Для определения промежутки возрастания функции используем свойство производной от функции:
Если производная у'(x) от функции у(x) положительна на интервале (a; b), то она возрастает на интервале (a; b).
Находим производную от функции
у'=(x³+3·x²-9·x)'=3·x²+6·x-9.
Решаем неравенство у'>0:
3·x²+6·x-9>0 ⇔ x²+2·x-3>0 ⇔ x²+2·x+1-4>0 ⇔ (x+1)²-2²>0 ⇔
⇔ (x+1-2)·(x+1+2)>0 ⇔ (x-1)·(x+3)>0.
Рассмотрим функция
g(x)=(x-1)·(x+3).
Нули x=-3 и x=1 функции g(x)=(x-1)·(x+3) делят ось Ох на 3 промежутки (-∞; -3), (-3; 1) и (1; +∞), в каждом из которых функция сохраняет свой знак (метод интервалов). Проверим знак функции:
1) -5∈(-∞; -3): g(-5)=(-5-1)·(-5+3)=12>0, значит g(x)>0 на (-∞; -3);
2) 0∈(-3; 1): g(0)=(0-1)·(0+3)=-3<0, значит g(x)<0 на (-3; 1);
3) 2∈(1; +∞): g(2)=(2-1)·(2+3)=5>0, значит g(x)>0 на (1; +∞).
Отсюда, в силу вышесказанного, функция у=x³+3·x²-9·x
возрастает на промежутках (-∞; -3) и (1; +∞).