Question

Математика 10 класс. Довести тотожність

Answer 1

1-(cosx)^2/sinxcosx + (sinx)^2(tgx + ctgx)=2tgx
(sinx)^2/sinxcosx + (sinx)^2(tgx + ctgx)=2tgx
sinx/cosx + (sinx)^2(tgx + ctgx)=2tgx
tgx + (sinx)^2(tgx + ctgx)=2tgx
(sinx)^2(tgx + ctgx)=2tgx - tgx
(sinx)^2(tgx + ctgx)=tgx
(sinx)^2(tgx/tgx + ctgx/tgx)=tgx/tgx
(sinx)^2(1 + ctgx/tgx)=1 
отдельно ctgx/tgx= sinx/cosx/cosx/sinx=sinxsinx/cosxcosx =(sinx)^2/(cosx)^2

(sinx)^2(1 + (sinx)^2/(cosx)^2)=1
(sinx)^2(((cosx)^2 + (sinx)^2)/(cosx)^2)=1
(sinx)^2(1/(cosx)^2)=1
(tgx)^2=1
tgx = 1 
tgx = -1
ответ
х1 = П/4 +Пк х пренад z
x2 = -П/4 + Пк х пренад z

Answer 2

$\displaystyle\mathtt{\frac{1-cos^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha}=\frac{sin^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha}=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=tg\alpha}$, следовательно, 

$\displaystyle\mathtt{\frac{1-cos^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha}+\sin^2\alpha(tg\alpha+ctg\alpha)=sin^2\alpha(tg\alpha+ctg\alpha)=tg\alpha}$

поделив на тангенс обе части уравнения, теперь нам необходимо доказать новое тождество: $\displaystyle\mathtt{\frac{sin^2\alpha(tg\alpha+ctg\alpha)}{tg\alpha}=1}$

$\displaystyle\mathtt{\frac{sin^2\alpha(tg\alpha+ctg\alpha)cos\alpha}{sin\alpha}=sin\alpha(tg\alpha+ctg\alpha)cos\alpha=}\\\\\mathtt{sin\alpha cos\alpha tg\alpha+sin\alpha cos\alpha ctg\alpha=sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}$