Question

Помогите )))) Срочно надо! Заранее спасибо ;*

Answer 1

$50)\; \; \int\limits^1_0 \frac{arctg^2x}{1+x^2}\, dx=[\, d(arctgx)=\frac{dx}{1+x^2}\, ]=\int\limits^1_0(arctgx)^2\cdot d(arctgx)=\\\\=\frac{arctg^3x}{3}\, \Big |_0^1=\frac{1}{3}\cdot (atctg^31-arctg^30)=\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi }{12}\\\\60)\; \; \int\limits^{+\infty }_4 \frac{dx}{16+x^2}\, dx= \lim\limits _{ A\to +\infty}\int\limits^{A}_4 \frac{dx}{16+x^2}\, dx= \lim\limits _{A \to +\infty} \Big (\frac{1}{4}\cdot arctg\frac{x}{4}\Big |_4^{A}\Big )=$

$=\frac{1}{4}\cdot \lim\limits _{A \to \infty}\Big (arctg\frac{A}{4}-arctg1)=\frac{1}{4}\cdot (\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\Big )=\frac{\pi }{16}\\\\70)\; \; y=\sqrt{x-2}\; ,\; \; y=x-2\\\\Tochki\; peresecheniya:\; \; \sqrt{x-2}=x-2\; ,\; \; x-2=(x-2)^2\; ,\\\\x^2-5x+6=0\; ,\; \; x_1=2\; ,\; x_2=3\\\\S= \int\limits^3_2\, (\sqrt{x-2}-(x-2))\, dx=\Big (\frac{(x-2)^{3/2}}{3/2}-\frac{(x-2)^2}{2}\Big )\Big |_2^3=$

$=\Big (\frac{2\sqrt{(x-2)^3}}{3}-\frac{(x-2)^2}{2}\Big )\Big |_2^3=\frac{2}{3}(1-0)- \frac{1}{2}(1-0)=\\\\=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\\\\V=\pi \int\limits^3_2\, (f_1^2(x)-f_2^2(x))\, dx =\pi \int\limits^3_2\, \Big (\underbrace {(\sqrt{x-2})^2}_{x-2}-(x-2)^2\Big )\, dx=\\\\=\pi \cdot \Big (\frac{(x-2)^2}{2} -\frac{(x-2)^3}{3}\Big )\Big |_2^3=\pi \cdot \Big (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Big )=\frac{\pi }{6}$