Question

3)найдите промежутки возрастания и убывания функции : f(x)=-x⁴+8x²-9

4)Найдите критические точки функции.определитель какие из них являются точками минимума а какие точки максимума f(x)=9+8x²-4x⁴

5)
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x)=x³/3 - x²+1 на [-3;1]

Answer 1

3)найдите промежутки возрастания и убывания функции : f(x)=-x⁴+8x²-9.

Исследование на точки экстремума и монотонность. Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.

Производная равна y' = -4x³ +16x.

На промежутках находят знаки производной . Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

Приравниваем производную нулю:  -4x³ +16x = -4х(х² - 4) = 0.

Получаем 3 критические точки: х = 0, х = -2 и х = 2.

Находим знаки производной:
x =   -3     -2     -1      0      1      2       3
y' =  60     0    -12      0     12     0     -60.
Функция возрастает на промежутках (-∞; -2) и (0; 2),
убывает на промежутках (-2; 0) и (2; ∞).
    
4)Найдите критические точки функции.определитель какие из них являются точками минимума а какие точки максимума f(x)=9+8x²-4x⁴.
y'= -16x³ + 16x = -16x(x² - 1).
-16x(x² - 1) = 0. Имеем 3 критические точки: х = 0,  х = -1 и х = 1.
x =   -2     -1      -0,5      0      0,5      1       2
y' =   96    0        -6        0       6        0     -96.
2 максимума х = -1 и х = 1, минимум х = 0.

5)
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = (x³/3) - x²+1 на [-3;1].
y' = x² - 2x = x(x - 2) = 0. Имеем 2 критические точки х = 0 х = 2.
x =  -1     0     1     2     3
y' =  3     0    -1     0     3.
В точке х = 0 локальный максимум, на отрезке (-∞; 0) функция возрастает, значит, в точке х = -3 будем минимальное значение функции на заданном промежутке [-3;1].
х = -3, у = (-27/3)-9+1 = -17.
Максимум х = 0, у = 1.