Question

Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно [tex] 3\sqrt{3}[tex]  , а высота, опущенная на основание, равна отрезку, соединяющему середину основания с серединой боковой стороны.

Answer 1

ΔАВС - равнобедренный, АВ=ВС, АС=3√3 ,  ВН⊥АС , ВМ=МС , ВН=МН.
Так как высота ВН равнобедренного ΔАВСявл. ещё и медианой , то
точка Н - середина основания АС. Точка  М - середина стороны ВС, тогда МН - средняя линия ΔАВС, она равна половине параллельной ей
стороны АВ,
МН=1/2*АВ=1/2*ВС=ВМ  ⇒  МН=ВМ , но МН=ВН (по условию)
  ⇒  ΔВМН - равносторонний  ⇒  все его углы = 60°  ⇒ ∠АВС=120°, т.к.
высота ВН явл. ещё и биссектрисой равнобедренного ΔАВС.
Тогда  ∠ВАС=∠ВСА=(180°-120°):2=30° .
АН=1/2*АС=1/2*3√3 .
Рассмотрим ΔАВН:  cos∠ВАС=ВН/АB  ⇒  AB=AH/cos∠ВАС ,
 $AB=\frac{3\sqrt3}{2}:cos30^\circ =\frac{3\sqrt3}{2}:\frac{\sqrt3}{2}=3$