Question

Частное решение дифуравнения (фото)

Answer 1

а) Имеем дело с дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Проинтегрируем почленно левую и правую части уравнения дважды

$\displaystyle y'=\int(4x+\cos 2x)dx=2x^2+0.5\sin 2x+C_1\\ \\ y=\int(2x^2+0.5\sin2x+C_1)dx= \frac{2x^3}{3}-0.25 \cos 2x+C_1x+C_2$

Найдем частное решение, подставив начальные условия:
$\displaystyle \left \{ {{2=C_1} \atop {3=0.25\cos 0+C_2}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{C_1=2} \atop {C_2=2.75}} \right.$


$\boxed{y=\frac{2x^3}{3}-0.25 \cos 2x+2x+2.75}$ - частное решение.

б) Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, однородное.
Пусть $y=\exp\{ kx\}$, тогда получим характеристическое уравнение

$k^2+2k-15=0\\ (k+1)^2-16=0\\ (k+1+4)(k+1-4)=0\\ (k+5)(k-3)=0\\ k_1=3\\ k_2=-5$

$y=C_1e^{-5x}+C_2e^{3x}$ - общее решение однородного уравнения

$y'=-5C_1e^{-5x}+3C_2e^{3x}$
Найдем теперь частное решение, подставляя начальные условия

$\displaystyle \left \{ {{3=C_1+C_2} \atop {1=-5C_1+3C_2}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {1=-5(3-C_2)+3C_2}} \right. \\ \\ 1=-15+5C_2+3C_2\\ \\ 8C_2=16\\ \\ C_2=2\\ \\ C_1=3-2=1$


$\boxed{y=e^{-5x}+2e^{3x}}$ - частное решение